Segona sessió del club de matemàtiques del curs 2020/21

El problema dels grans d'arròs en el tauler d'escacs

Qüestions sobre divisors

Nombres perfectes, nombres de Mersenne i nombres de Fermat.

Aquesta sessió estava pensada per fer-la de forma presencial i implicava que hi hagués, com sempre, interecció entre els membres del club, però les circumstàncies ens han portat a fer-la en un format diferent. Veurem com ens en sortim.

La idea era començar amb un problema ben conegut i que ja havíem resolt en alguna sessió anterior: El problema dels grans d'arròs en un tauler d'escacs. Aquest podria ser un possible enunciat

Diu la llegenda que el inventor del joc dels escacs el va presentar a l'emperador xinès. Aquest va quedar meravellat pel joc i li va dir al inventor que demanés el que volgués. Aquest va contestar que tot just volia 1 grà per la primera casella, 2 per la segona, 4 per la tercera, 8 per la quarta, 16 per la cinquena,... i així a cada casella el doble de l'anterior. L'emperador va donar ordre de que es fes efectiva la petició amb la condició de que només podria endur-se l'arròs que pogués transportar ell tot sol, amb l'ajuda d'un carro si fos precís. Sabries dir quants grans d'arròs hi hauria d'haver en total al tauler?

Ara ve quan he de fer de mal professor. Donat que no podem interactuar, vaig a donar una pista massa clara per aquells que no hagin trobat la solució, saps trobar una manera fàcil de sumar les potències de 2 sense necessitat de fer realment la suma.

Si sabeu la resposta, ara us podeu plantejar la mateixa qüestió per les potències de 3. O per les de 4, de 5, de 6, ....

Canviem radicalment de qüestió. Donat un nombre quants divisors té? Com podem trobar tots els divisors d'un nombre? Per donar resposta a aquestes preguntes, que ja hem tractat en alguna sessió anterior, és necessari tenir present la descomposició d'un nombre en factors primers. Un altre cop dic més del que hauria però...

Ara un problema que encara no ens hem plantejat en el club, donat un nombre com podríem trobar la suma de tots els seus divisors?

Continuem:

Un nombre és perfecte si és la suma de tots els seus divisors propis, és a dir, de tots els divisors diferents del nombre, dona el nombre en qüestió. Per exemple, el nombre perfecte més petit és 6, doncs 6=1+2+3. El segon és 28, doncs 28=1+2+4+7+14. El tercer 496, doncs 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248. No és fàcil trobar el quart, el sabries trobar?

Mersenne un monjo del segle XVII, molt afeccionat a les matemàtiques que tenia relació amb els millors matemàtics de l'època, es va interessar pels nombres de la forma 2^n-1, i especialment pels que són primers. Aquests són els nombre de Mersenne, en el seu honor.

Un dels matemàtics amb qui Mersenne es cartejava era Fermat, jurista de professió però el més gran de matemàtics afeccionats. Fermat va creure que tots els nombres de la forma 2^(2^n)+1 eren primers. La seva hipòtesi va resultar falsa, els bons matemàtics també s'equivoquen.

Solucions a les qüestions de la segona sessió

En Lluís Serra ha enviat les següents solucions

i en Pere Mañosa aquesta

Tots dos han fet molt bona feina. En Pere resol les dues primeres qüestions i en Lluís arriba fins als nombres de Fermat.