Bona tarda membres del club!
La propera sessió del club de matemàtiques serà el dimarts 15 de desembre a les 7 de la tarda a la biblioteca de Palafrugell, si la podem fer presencial. Esperem que sí. Si no fos possible la farem en aquest blog.
He triat alguns problemes de la prova Cangur de l'any 2003. Són aquests:
1) A és el número 111...111 que s'escriu amb 2.003 dígits iguals a 1. Quina és la suma dels dígits del producte 2.003 x A?
2) Els nombres a, b i c són tres nombres diferents escollits entre els del conjunt {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28}. Quants resultats diferents pot tenir la suma a+b+c?
3) Un full rectangular de 6 cm x 12 cm es doblega per la diagonal. Els dos triangles que queden fora de la zona de superposició es retallen. Tot seguit es desdoblega el full. La figura que resulta és un rombe. Quina és en cm, la longitud del costat d'aquest rombe?
4) A la figura de sota podeu veure quatre quadrats que s'encavallen parcialment, de costats 11 cm, 9 cm, 7 cm i 5 cm, respectivament. Quina és la diferència entre l'àrea total de les zones vermelles i l'àrea total de les zones verdes?
Suposo que no hareu tingut cap dificultat en la resolució d'aquest problema.
Ara el complicarem un xic: mantenim la condició de que els costats dels quadrats siguin nombres enters diferents, és possible trobar valors dels costats dels quadrats que verifiquin que en aquest cas les dues àrees totals de les zones vermella i verda siguin igual? Com?
Pista: hi ha una possibilitat, relativament senzilla a partir de coses treballades al club que requereix un cert enginy. Existeix una altra possibilitat, relacionada amb un teorema de Fermat molt maco, que si ho féssim de forma presencial, podríem provar d'explicar.
Per acabar, si permetem que els costats dels quadrats siguin nombres irracionals, és possible aconseguir que les dues zones vermella i verda tingin la mateixa àrea?
5) Quin és el resultat que obtenim si dividim l'àrea del triangle ADE de la figura per l'àrea del triangle ABC?
Obtenir el valor que es demana suposo que no és excessivamant difícil, en a mi em va costar.
Justificar-ho de forma general té la seva història.
6) Si escrivim tots els nombres possibles d'una, dues, tres, quatre, cinc, sis o set xifres fent servir únicament 0 i 1, quants 1 haurem escrit?
A veure si sou capaços de trobar una expressió general en funció de n, el nombre màxim de xifres, i de justificar-la.
Solucions a les 6 qüestions plantejades per a la tercera sessió del club.
Sento molt no haver dit res fins ara però vaig liat amb altres coses i fins ara no m'ho he pogut mirar.
Tot just m'han enviat solucions en Lluís Serra i en Pere Mañosa.
Les d'en Lluís són aquestes:
I aquestes les d'en Pere:
Del primer problema la solució d'en Lluís és merament inductiva i prou, mentre que en Pere aplica l'algorisme de la multiplicació de forma clara i troba la solució. Res més a dir.
Les del segon problema totes dues són idèntiques i correctes.
Del tercer problema només dona solució en Lluís que és perfecte. El que em va motivar a proposar el problema és que en aparença un podria pensar que s'ha de resoldre una equació de segon grau i resulta tenir una solució lineal i prou.
La resolució que fa en Lluís del cinquè problema em sembla molt bé. La meva és força més complicada i us l'estalvio. En Pere no n'ha donat cap.
Pel que fa al sisè problema, tinc la impressió de que en Pere ha mal interpretat l'enunciat. En Lluís troba la solució a partir de resultats inductius que no tinc clar que justifiqui de manera adequada. La meva resolució és un xic llarga i pesada però crec que pot ser instructiva i per això m'atraveixo a exposar-la:
